In het onderwijs rekenen leerlingen dagelijks met verhoudingen: van het interpreteren van schaalmodellen tot het berekenen van snelheid en procenten. Toch merken veel docenten dat leerlingen moeite hebben met het flexibel toepassen van verhoudingen in verschillende contexten. Hoe komt dat? En hoe kun je als docent helpen om deze vaardigheid te versterken? De vakdidactische begrippen interne en externe verhouding bieden je houvast en geven je meer inzicht in waar leerlingen het rekenen met verhoudingen lastig vinden.

Interne- en externe verhoudingen

Je kunt een verhouding tussen twee getallen definiëren als het quotiënt van die twee getallen. In de praktijk gebruik je verhoudingen op twee manieren. Je kunt verhoudingen gebruiken om te vergelijken. Je berekent dan bijvoorbeeld welk product relatief het duurst is, of in welke klas relatief de meeste voldoendes zijn gehaald. Je kunt ook rekenen met een ‘vaste verhouding’. In dat geval zoek je een ander paar getallen met dezelfde verhouding (een gelijkwaardige verhouding).

De verhouding blijft telkens gelijk: 4 ÷ 2 = 20 ÷ 10 = 80 ÷ 40 = 2. In de vakdidactiek heet dit de externe verhouding. Je kan hier ook een andere verhouding gebruiken om te rekenen. Als de rekening 4 keer zo duur wordt, dan betalen beide gezinnen vier keer zoveel: 4 × € 20 = € 80 en 4 × € 10 = € 40. In de vakdidactiek heet dit de interne verhouding.

In de praktijk

Of je in een berekening de externe- of interne verhouding gebruikt, hangt af van de context én de getallen. In veel rekenvraagstukken is de externe verhouding direct gegeven, zoals:

• Een schaal van 1:100 betekent dat de werkelijkheid 100 keer zo groot is als de afbeelding.
• Een snelheid van 20 km/u betekent dat het afgelegde aantal km’s 20 keer het aantal uren is.

Bij een recept wordt juist vaker de interne verhouding gebruikt. Een recept voor 4 personen reken je om naar 10 personen door alle ingrediënten maal 2,5 te doen. Voor het flexibel rekenen met verhoudingen is het essentieel dat leerlingen met beide soorten verhoudingen kunnen rekenen. Toch zien we in de praktijk dat er steeds vaker een eenzijdige focus ontstaat op de interne verhouding. Dat zie je bijvoorbeeld aan de verhoudingstabel met vaste stappen. Dit terwijl het in veel situaties handiger en veel intuïtiever is om met de externe verhouding te rekenen. Bijvoorbeeld als je twee producten wilt vergelijken. Dan ligt het meer voor de hand om per product de prijs per kilo uit te rekenen door de prijs door het gewicht te delen, dan om te rekenen via 1 gram of 100 gram. Zéker als leerlingen mogen rekenen met een rekenmachine, zoals in allerlei vakken in het voortgezet onderwijs en in het mbo.

Verhoudingstabel met vaste stappen

De uitdaging: méér dan een trucje

Veel leerlingen leren verhoudingen als een vaste procedure, een stappenplan zonder begrip. Ze vullen de getallen in en ‘rekenen via 1’. Als de verhoudingstabel op deze manier is opgesteld, lukt dit rekenen vaak redelijk goed. En het lijkt zo fijn: op deze manier kun je elk verhoudingsvraagstuk uitrekenen. Toch hebben veel leerlingen moeite met de eerste stap: het vertalen van de vraag naar de verhoudingstabel. De oplossing is begrip! Ofwel weten wat je doet.

Als docent kun je van alles doen om dit begrip te verbeteren:

• Heb je het idee dat leerlingen nog niet begrijpen wat een verhouding is, besteed daar dan extra aandacht aan. Een context waarbij je een plaatje vergroot is daarvoor heel geschikt. Je hebt dan een vaste verhouding tussen het origineel en het beeld. De verhoudingen binnen de afbeelding blijven óók behouden.
• Bespreek de aanpak van je leerlingen en laat, waar dat past, zien dat je op twee manieren kunt rekenen.
• Leerlingen hoeven de termen interne- en externe verhouding niet te kennen. Je zou ze wel de horizontale- of verticale verhouding kunnen noemen als je een verhoudingstabel of dubbele strook gebruikt.
• Gebruik bij verhoudingen waar de externe verhouding het meest voor de hand ligt, vooral deze verhouding. En leg ook uit waarom.
• Gebruik je een dubbele strook model dan kan je zowel de interne- als externe verhouding begrijpelijker maken. De strook is visueel verwant aan de schaalbalk of de liniaal met cm en mm (externe verhouding) en aan een breukenstrook. Vanuit dit laatste kan bijvoorbeeld 35% gevisualiseerd worden als 35/100 deel van het geheel.

Aan de slag!

Flexibel én effectief rekenen met verhoudingen betekent kunnen rekenen met zowel interne- als externe verhoudingen. Dit vraagt om rekenen met begrip. Als docent heb je daar een sleutelrol in en wij ondersteunen daar graag in.

Laten we samenwerken aan een rijker begrip van verhoudingen, zodat onze leerlingen niet alleen goed scoren op rekentoetsen en het rekenexamen (mbo), maar hun rekenvaardigheden ook kunnen gebruiken in andere vakken, een vervolgstudie en in hun dagelijkse praktijk. Uiteindelijk gaat het erom dat we onze leerlingen helpen groeien tot zelfverzekerde, gecijferde burgers, klaar voor de uitdagingen van de toekomst.